Práctica de Laboratorio - Método de Jacobi aplicado a un sistema masa-resorte idealizado

Resumen

Esta práctica permite aplicar el método de Jacobi para resolver un sistema de ecuaciones lineales (del tipo Ax=b) que surgen a partir de analizar un sistema masa-resorte idealizado. La práctica está dividida en dos secciones: en la primera se definen las variables A y b del sistema masa-resorte, se analiza la convergencia del método de Jacobi y se aproxima la solución del sistema; en la segunda se exploran los cambios que ocurren en la solución cuando se modifican los parámetros del sistema masa-resorte, esto es, las constantes de los resortes y la fuerza externa aplicada a dicho sistema.

Contexto

La solución numérica de sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Jacobi es uno de los temas incluidos en la asignatura de Métodos Numéricos que se imparte a los estudiantes del 5to semestre de diferentes carreras de ingeniería de la Universidad Nacional Experimental del Táchira (UNET), Venezuela. La asignatura suele reunir de 20 a 30 estudiantes, quienes aprenden a utilizar MATLAB en las primeras semanas del curso. Las habilidades básicas de programación las adquieren en cursos previos.

Objetivos de la Actividad

Objetivo general. Aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales (del tipo: Ax=b) mediante el método de Jacobi.

Objetivos específicos:

1. Representar las ecuaciones del sistema masa-resorte en la forma matricial: Ax=b.
2. Entender el método de Jacobi y el proceso iterativo que da lugar a la solución del sistema de ecuaciones lineales.
3. Analizar la convergencia del método de Jacobi utilizando herramientas de MATLAB, específicamente las funciones: diag, triu, tril y eig.
4. Aplicar el método de Jacobi para resolver el sistema de ecuaciones lineales que surgen de analizar un sistema masa-resorte idealizado.

Materiales de Enseñanza

Práctica de laboratorio interactiva elaborada utilizando el entorno Live Script de MATLAB. Está dividida en 7 actividades secuenciales y diseñada de modo que los elementos que componen el sistema de ecuaciones y la matriz de iteración de Jacobi se han definido por defecto, por lo que el estudiante deberá determinar los valores apropiados y sustituirlos en los segmentos de código correspondientes. También,  deberá decidir la convergencia del método utilizando una estructura de decisión (if)  e invocar la función Jacobi que resuelve el sistema  de ecuaciones.

Antes de realizar esta actividad los estudiantes deben comprender el razonamiento matemático detrás del método iterativo de Jacobi.

[jacobimasaresorte.mlx (MATLAB Live Script 14kB Nov23 23)]

Notas para los Educadores usando la Actividad

La práctica está diseñada para ser realizada en una sesión de laboratorio de 1 hora de duración. El mejor enfoque que he encontrado para realizar esta actividad es dividir la clase en grupos aleatorios de 2  estudiantes. La dinámica de trabajo ha sido la siguiente: cada grupo discute el problema y plantea la forma matricial del sistema, luego calcula la matriz iterativa del método y decide sobre la convergencia, después elige los parámetros necesarios para alimentar la función Jacobi.m que aproxima la solución del problema. Finalmente, los grupos comparten su trabajo en clase (o en un foro), discuten la solución obtenida y analizan los resultados.

Evaluación

Al finalizar la práctica asignar a cada grupo un nuevo ejercicio. Los grupos deben preparar un live script donde analizan y resuelven el sistema utilizando el método de Jacobi siempre que puedan garantizar la convergencia.

Recursos adicionales

1. Método de Jacobi, video-clase, profesor: Blanca Guillén: https://www.youtube.com/watch?v=wVsB6nFtus4&t=1188s
2. Textbook: Burden, R. y Faires, Douglas, (2002).  Análisis Numérico, 7a Ed. España: Editorial Thomson Learning.
3. Textbook: Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists, 4th Ed. (McGraw-Hill, 2017) by Steven C. Chapra

Esta actividad fue creada como parte del Taller con MATLAB Septiembre 2023.