Métodos numéricos que aproximan integrales definidas

JOSÉ JORGE RÍOS RAMÍREZ, UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA PUEBLA, DEPARTAMENTO DE CIENCIAS E INGENIERÍAS

Resumen

Esta actividad tiene el fin de exponer a los y las estudiantes el tema de sumas de Riemann como aproximación de integrales definidas, y de manera ideal puede formar parte de las actividades en clase de los planes formativos en Ingeniería. En la dinámica se abordan los conceptos tanto de la integral definida, así como el de convergencia de un método numérico. El ejercicio en clase está basado en cuatro metodologías de cálculo que proponen diferentes elementos de superficie cuadrangulares, los cuales se distinguen entre ellos por la definición de sus alturas, conocidos como métodos de puntos a la izquierda, puntos a la derecha, puntos medios y de trapecio. A la par de la exposición de los conceptos antes mencionados, se propone realizar la captura de unLive Script Riemann.mlx (MATLAB Live Script 106kB Nov28 23) en MATLAB, en colaboración con los y las asistentes de la sesión, en donde es posible obtener el valor numérico que resuelve el área bajo una curva de la función inversa de x. En el conjunto de resultados, conformados por cada metodología, hace evidente como con un número menor de elementos de superficie, del tipo punto medio y de trapecio resuelven el problema, respecto al número que debe considerarse para los métodos tanto de puntos a la izquierda y de puntos a la derecha.

Contexto

Dado que la definición de los parámetros numéricos de las sumatorias es relativamente sencilla, se espera que los participantes de la presente actividad cuenten con el dominio tanto de la sintaxis y jerarquía de un lenguaje computacional convencional, sin embargo, para un desarrollo ideal de la misma se recomienda resolver previamente el curso MATLAB-onramp. (matlab-onramp) Respecto a las capacidades de cómputo no son necesarias mayores prestaciones que aquellas presentes en una computadora portátil o una tableta, ambas de gama básica. Por otro lado, es recomendable tener instalada una versión de software MATLAB, o acceder a la versión en línea por medio de un correo institucional. Cabe mencionar que la anterior condición será necesaria cubrir, previamente al desarrollo de la presente actividad, de tal forma que todos los participantes cuenten con una versión del software lista para su uso. En cuanto a la formación académica deberán estar familiarizados con los concepto numérico y gráfico del límite, ya que la definición de la integral exacta resulta ser un valor constante al que tiende una sumatoria, precisamente en el límite en el que los términos discretos que la conforman pasan a ser un continuo. Así mismo, para facilitar la comprensión del concepto de convergencia, resulta pertinente tener cubierta la discusión de los conceptos de sucesión y serie. En dónde la obtención de un valor numérico finito a partir de una suma infinita de términos tiene lugar solo para series convergentes. Finalmente, dado que la función a considerar es de potencia, esta sesión bien puede desarrollarse, dentro del syllabus, una vez finalizada la revisión del teorema fundamental del cálculo, justo antes de entrar de lleno en los métodos de integración algebraicos.

Objetivos de la Actividad

Los objetivos de aprendizaje parten del concepto de una integral definida como un valor numérico constante, en contraste con el de una integral indefinida que resulta ser una función de la variable de integración. Una integral al representar gráficamente el área bajo la curva de una función no cuenta con una sola formula geométrica que permita determinar de manera exacta su valor. Sin embargo, si esta superficie, encerrada entre el eje horizontal del plano cartesiano y el perfil mismo de la función, se sustituye por un conjunto de elementos de superficie, como puede ser un rectángulo o un trapecio rectangular (todos con fórmulas de superficie bien conocidas), la suma de estas áreas puede resultar entonces en una aproximación numérica al valor exacto de la integral, conocida como suma de Riemann.

Por otro lado, tomar en cuenta un elemento de superficie como una aproximación parcial del área bajo la curva implica que cada uno de ellos estén relacionados con el problema a resolver, en primer lugar, su base, denominada Δx, depende del número de elementos de superficie a considerar, por lo que sus bases tienden a ser más angostas a medida que una mayor distribución de superficies elementales se toma en cuenta, esto con el fin de albergarlos por completo entre los límites de integración. Por otro lado, sus alturas deben "tocar" el perfil de la función. Para elementos de superficies rectangulares, solamente será posible con una sola de las esquinas superiores, lo que permite distinguir entre los métodos de puntos en la esquina derecha o en la esquina izquierda, mientras que en el método de punto medio el acercamiento hacia la función corresponde con el de un punto intermedio a lo largo de la distancia definida por Δx.

Como todo método numérico, se sabe es convergente cuando su resultado final no varía a pesar de incorporar un mayor número de términos en la suma de Riemann, es decir, si al mejorar la aproximación se obtiene el mismo resultado se acepta entonces que la solución se ha encontrado.

De manera general el objetivo fundamental de la actividad se encuentra en la demostración de como la sumatoria da origen a la integral, sin necesidad aún de recurrir a las fórmulas de antiderivadas, conocidas como tablas de integrales. El cual representa un concepto que en la práctica con frecuencia se suele perder. Y es necesario en temas posteriores del curso, para aplicaciones de área entre dos curvas y volúmenes de sólidos de revolución.

El sumario de los objetivos específicos de aprendizaje corresponde a:

• Concepto de integral definida
• Concepto de suma de Riemann
• Los parámetros de un elemento de superficie
• Modelos de elementos de superficie cuadrangulares
• Concepto de convergencia

Materiales de Enseñanza

Código: Live-Script Riemann.mlx (MATLAB Live Script 106kB Nov28 23)

Reporte: Riemann.pdf (Acrobat (PDF) 887kB Nov28 23)

Notas para los Educadores usando la Actividad

Se recomienda que en los días previos al desarrollo de la actividad se prevenga la asistencia de los participantes con un equipo de cómputo portátil con acceso a Internet. Así mismo, esta propuesta resulta ser ideal para grupos pequeños, de no más de 12 estudiantes, o para un número semejante de equipos por parejas, todo esto para permitir al Profesor o Profesora monitorear el avance de manera global. Junto con la exposición de los conceptos incluidos en las imágenes del Live-Script, los estudiantes irán capturando el código de manera secuenciada hasta la obtención del resultado numérico de la integral, por lo que es necesario seguir el progreso de cada uno de los participantes o equipos, para evitar dejar atrás a alguno de ellos.

El Live-Script se encuentra divido en dos sesiones, la primera de ellas corresponde con la parte teórica de la actividad, y se centra en la revisión del concepto de suma de Riemann, así como en la descripción de los cuatro modelos de elementos de superficie. Posteriormente, se introducen los parámetros numéricos, comenzado con la base Δx en función del número de elementos de superficie n, seguido de los arreglos que indican el índice o etiqueta que se asigna en orden creciente partiendo del límite inferior a hasta el límite superior b, indicados en el Live-Script como: iL e iD  (para el método por puntos izquierdos y puntos derechos, respectivamente). Así mismo, resulta fundamental distinguir como evaluar la función 1/x para tomar en cuenta las alturas de los elementos de superficie en las sumatorias, indicados como xL y xD. Para el método de puntos izquierdos la expansión empieza siempre en a y termina con el penúltimo punto (n-1), mientras que para el de derechos, comenzará en el índice 1 de la expansión terminando en b. Por su parte, la etiqueta para el método de puntos medios necesita realizar de manera inicial un desplazamiento hasta la mitad sobre el primer elemento de superficie ( aM ), desde donde se parte para indicar la ubicación del resto de ellos (xM). Finalmente, la sumatoria de los productos de base por altura (Δx f(x)) se determinan en las variables de salida: SL, SD y SM, con ST como el promedio de SL y SD, indicando las sumatorias de Riemann de puntos izquierdos, puntos derechos, puntos medios y por trapecio, respectivamente.

Una vez finalizada la actividad, se propone la consolidación de estos conceptos elaborando la integral de una función de potencia de orden dos (x²) la cual puede llegar a ser asignada como una reporte en el portafolio de tareas.

Evaluación

El Profesor podrá evaluar el desempeño de los participantes con la revisión del valor de la integral definida para 0.6931, entre los límites de integración 1 y 2 para una función inversa de x. Que corresponde con un valor que converge para alrededor de 20 elementos de superficie de punto medio y por trapecio, mientras que para puntos izquierdos y puntos derechos el mismo valor se alcanza, pero ahora con más 2000 elementos rectangulares, demostrando que la convergencia es mucho más rápida para SM y ST, respecto a SL y SD.

Recursos adicionales

Libro de texto: Stewart, J. (2012). Cálculo: trascendentes tempranas (8a. ed.). Cengage Learning.

Esta actividad fue creada como parte del Taller con MATLAB Septiembre 2023.