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Initial Publication Date: January 2, 2024

Estudio de sistemas EDPs para la transferencia de calor y ecuación de onda

Rodolfo Salazar Peña, Universidad Autónoma de Guadalajara, Biotecnología y Ambientales

Resumen

Se presentan una serie de ocho MATLAB scripts para problemas de transferencia de calor y la ecuación de onda. Se examinan diversas condiciones iniciales, condiciones frontera y diferentes geometrías. Tres de los livescripts se proponen como proyectos finales, uno de los cuales es opcional ya que se enfoca en la resolución de la ecuación de Burger, la cual es caso particular de la ecuación de Navier-Stokes en una sola dimensión. El material puede ser particularmente útil para diversos cursos tales como Ecuaciones Diferenciales, Métodos Numéricos, Física, Transferencia de Calor e ingeniería aplicada entre otros.

Contexto


Las ecuaciones diferenciales modelan una gran variedad de sistemas físicos, químicos, biológicos, económicos y sociales. MATLAB cuenta con diversos solvers para resolver numéricamente una amplia gama de ecuaciones diferenciales, estas son

  • La bien conocida ODE Suite, para ecuaciones diferenciales ordinarias de problemas de valor inicial en el dominio del tiempo, esto con ODE45, ODE23, etc.
  • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias problemas de valores en la frontera, con los solvers BVP4C y BVP5C.
  • Ecuaciones Diferenciales Parciales de dos variables independientes con el comando PDEPE para ecuaciones diferenciales parciales del tipo parabólicas y elípticas. Las primeras modelan principalmente procesos de transferencia de calor-difusión unidimensionales en estado transitario y las segundas, procesos de transferencia de calor-difusión mono o multidimensionales en estado estacionario (ecuación de Laplace).
  • Finalmente, con el Partial Differential Equations Toolbox es posible simular sistemas bidimensionales en estado transitorio para procesos mecánicos, térmicos, electromagnéticos entre otros.

No obstante, al momento de esta edición, al parecer, MATLAB no cuenta con un solver "de fábrica" específico para ecuaciones hiperbólicas unidimensionales, del tipo con la que se modela la ecuación de onda y que también tiene aplicaciones físicas de gran importancia. Siendo este el caso, se propone generar un programa personalizado mediante el método de los elementos finitos.

Objetivos de la Actividad


El objetivo es que, mediante el aprendizaje basado en proyectos, el estudiante adquiera habilidades de programación para sacar provecho de los solvers con los que ya cuenta MATLAB para resolver numéricamente EDPs y en caso de no contar con un solver adecuado para un caso dado, desarrollar uno personalizado.

Ejemplo de uno de los ejercicios de transferencia de calor en estado transitorio correspondiente a la ejecuación del Live Script Calor01.mlx.

Materiales de Enseñanza

Se integran a la actividad un total de ocho MATLAB scripts. Estos son:

  • Calor01.mlx (MATLAB Live Script 883kB Sep21 23) Resolución de la ecuación unidimensional de calor de Fourier con temperaturas constantes en las fronteras y geometría rectangular.
  • Calor02.mlx (MATLAB Live Script 894kB Sep21 23) Resolución de la ecuación unidimensional de calor de Fourier con fronteras adiabáticas y geometría rectangular.
  • Onda01.mlx (MATLAB Live Script 95kB Sep21 23) Resolución de la ecuación unidimensional de onda con desplazamiento inicial dado y velocidad inicial cero.
  • Onda02.mlx (MATLAB Live Script 50kB Sep21 23) Resolución de la ecuación unidimensional de onda con desplazamiento inicial cero y velocidad inicial dada.

Se ofrecen tres proyectos a desarrollar por parte de los estudiantes. Estos son

  • ProyectoCalor.mlx (MATLAB Live Script 1.1MB Dec4 23) Ecuación unidimensional de calor de Fourier con temperatura constante en las frontera exterior y distribución inicial de temperatura en geometría cilíndrica.
  • ProyectoOnda.mlx (MATLAB Live Script 56kB Dec4 23) Ecuación unidimensional de onda con desplazamiento inicial dado y velocidad inicial dada.
  • ProyectoBurger.mlx (MATLAB Live Script 35kB Dec4 23) Ecuación de difusión-convección de Burger (Se explica en recursos adicionales).

Adicionalmente, se agrega la función script

hiperbolica.mlx (MATLAB Live Script 7kB Sep21 23) Resolución de la ecuación unidimensional de onda por el método de los elementos finitos.

¡Precaución de descarga de los scripts! Una vez descargados los diversos scripts de esta actividad, se recomienda revisar que sus nombres de archivos correspondan exactamente a los que se presentan en este portal, esto es: Calor01.mlx, Onda01.mlx, etc. Esto es particular importante para este script de hiperbolica.mlx, debido a que se trata de una Live function, y como tal, si no tiene correctamente el nombre, no se ejecutará si se llama a través de Onda01.mlx, ProyectoOnda.mlx o cualquier otro programa o aplicación futura que lo requiera.

Notas para los Educadores usando la Actividad


Los dos primeros scripts para cada tema, calor y ecuación de onda, pueden ser tomados como ejemplos para que puedan ser inspeccionados y analizados por los estudiantes. Se recomienda liberar los scripts de los proyectos con código oculto e impresos en PDF. Se deja a criterio del docente liberar los códigos completos finalizado el curso.

Es importante remarcar que la script function para la ecuación hiperbólica no debe de considerarse como una alternativa para resolver la ecuación de onda fuera del contexto académico. Se recomienda hacer esto también del conocimiento de los estudiantes. La razón es que el algoritmo de diferencias finitas puede resultar inestable dados ciertos parámetros de la ecuación. Hacia la parte final del script Calor01.mlx, se realiza un análisis de estabilidad demostrativo para percatarse de la desventaja del método.

A la última versión de MATLAB R2023b, no hay un algoritmo avalado por MathWorks para resolver la ecuación unidimensional de onda. Esto si bien, existe dentro de la biblioteca de funciones de MATLAB una función denominada hyperbolic, sin embargo, en la documentación del software se sustenta con la leyenda de "Función No recomendada".

Evaluación


La actividad puede servir para diversas asignaturas, entre las cuales se pueden mencionar

  • Matemáticas aplicadas (Ecuaciones diferenciales)
  • Métodos numéricos
  • Física: Mecánica y Electromagnetismo.
  • Mecánicas de Fluidos
  • Transferencia de calor, masa y fenómenos de transporte.
  • Tópicos de ingeniería.
  • Modelado y simulación, principalmente si es realizada con MATLAB.

Por tal motivo se deja a criterio del docente la rúbrica de evaluación, dependiendo de los objetivos de su asignatura. A continuación se sugieren algunos de los aspectos a evaluar a partir de los proyectos realizados.

  • Conocimiento: El estudiante debe de tener conocimiento sobre el uso y manejo de las funciones de Bessel y su aplicación en las series de Fourier para resolver el proyecto de transferencia de calor.
  • Investigación: El estudiante debe investigar cómo resolver la ecuación de onda con ambas condiciones iniciales diferente de cero. Para tal efecto, deberá consultar bibliografía especializada en el tema.
  • Creatividad: El estudiante puede proponer soluciones alternativas. Así por ejemplo, si la asignatura es de programación en MATLAB, el docente puede pedir que programe el algoritmo de diferencias finitas para la EDP hiperbólica. Si la asignatura es de corte más aplicado, puede proponer aplicaciones para procesos difusivos de transferencia de masa, reactores químicos o bioquímicos, o ingeniería electroquímica.
  • Profesionalismo: Se sugiere solicitar al estudiante que desarrolle el livescript del proyecto con elementos explicativos y dinámicos.

Recursos adicionales

Se agrega una simulación de transferencia calor SimulCalor.e2d ( 4kB Sep21 23) desarrollada en el software libre Energy2D. El caso es muy similar al tratado en el script Calor01.mlx. Como un posible ejercicio, se sugiere que esta simulación pueda servir para hacer una adquisición de datos a manera de experimentación virtual y que de esta manera los estudiantes desarrollen una identificación de parámetros.

Las ecuaciones diferenciales parciales pueden ser también resueltas numéricamente por el Método de las Lineas, MOL, por sus siglas en inglés. Se agrega el siguiente enlace 1 para conocer la teoría general método y el enlace 2 para acceder a un repositorio de ejemplos del método desarrollados con MATLAB.

Se incluye un proyecto adicional que no es exactamente de aplicación en transferencia de calor ni la ecuación de onda. Este corresponde a la ecuación de Burger. El objetivo es que el estudiante aplique el Solver PDEPE para otro problema diferente a las aplicaciones de transferencia de calor y onda. La ecuación de Burger contiene un término conectivo que es no-lineal y representa un nuevo desafío en la implementación del comando PDEPE.

Se añade un colección de problemas para esta actividad en MATLAB Grader. Estos problemas abordan EDPs para modelos de:

  • Advección
  • Transferencia de calor con extremo irradiante.
  • Transferencia de calor con generación interna de energía térmica.
  • Vibración de una membrana circular elástica.
  • Bruselador.

Se recomienda que los estudiantes trabajen con este paquete didáctico previo a la realización de los proyectos, ya que proporcionará puntos claves y orientación para realizarlos.

Referencias

P. V. O'Neil (2015) Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, 7ma. Edición, Cengage Learning, México D.F.

R. L. Burden y J. D. Faires (1985) Análisis Numérico, 3ra. Edición, Grupo Editorial Iberoamérica, México, D.F.

A. Vande Wouwer, P. Saucez y C. Vilas (2014) Simulation of ODE/PDE Models with MATLAB, OCTAVE and SCILAB, Scientific and Engineering Applications, Springer, Switzerland.

 

Esta actividad fue creada como parte del Taller con MATLAB Septiembre 2023.